Пара Рута — Аарона

Пара Рута — Аарона — понятие в теории чисел, каждая такая пара состоит из двух последовательных целых чисел (например 714 и 715), суммы простых множителей которых равны:

714 = 2 × 3 × 7 × 17

715 = 5 × 11 × 13

и

2 + 3 + 7 + 17 = 5 + 11 + 13 = 29

Если учитывать только различные простые делители, то первыми парами Рута — Аарона будут:

(5, 6), (24, 25), (49, 50), (77, 78), (104, 105), (153, 154), (369, 370), (492, 493), (714, 715), (1682, 1683), (2107, 2108)

(Меньшие числа из пар составляют последовательность A006145 в OEIS).

Если же учитывать повторения множителей (то есть 8 = 2×2×2 и 9 = 3×3 дадут 2+2+2 = 3+3), то первыми парами Рута — Аарона будут:

(5, 6), (8, 9), (15, 16), (77, 78), (125, 126), (714, 715), (948, 949), (1330, 1331)

(Меньшие числа из пар составляют последовательность A039752 в OEIS).

Пересечение этих двух списков начинается с

(5, 6), (77, 78), (714, 715), (5405, 5406)

(Меньшие числа из пар составляют последовательность A039753 в OEIS).

Любая пара Рута-Аарона из чисел, не содержащих квадратов, входит в оба списка с одинаковой суммой простых делителей. Пересечение, однако, не ограничивается такими парами, оно содержит и не свободные от квадратов числа, например (7 129 199, 7 129 200) = (7×11²×19×443, 2⁴×3×5²×13×457). Здесь 7+11+19+443 = 2+3+5+13+457 = 480, а также 7+11+11+19+443 = 2+2+2+2+3+5+5+13+457 = 491.

Имя парам дано Карлом Померанцом в честь бейсболистов Бэйба Рута и Хэнка Аарона, поскольку рекордным числом хоум-ранов Рута было 714, а рекорд Хэнка Аарона, который он установил 8 апреля 1974 года, равен 715. Померанц был математиком в университете штата Джорджия, когда Аарон (член команды Атланта Брэйвз) побил рекорд Рута, и студент одного из коллег Померанца заметил, что суммы простых делителей чисел 714 и 715 совпадают.

Триплет Рута — Аарона

Триплеты Рута — Аарона, то есть тройки из последовательных простых чисел с равными суммами простых множителей, тоже существуют. Если учитывать только различные делители, то первый и, предположительно, второй триплеты — это

89 460 294 = 2 × 3 × 7 × 11 × 23 × 8419

89 460 295 = 5 × 4201 × 4259

89 460 296 = 2 × 2 × 2 × 31 × 43 × 8389

и 2 + 3 + 7 + 11 + 23 + 8419 = 5 + 4201 + 4259 = 2 + 31 + 43 + 8389 = 8465

151 165 960 539 = 3 × 11 × 11 × 83 × 2081 × 2411

151 165 960 540 = 2 × 2 × 5 × 7 × 293 × 1193 × 3089

151 165 960 541 = 23 × 29 × 157 × 359 × 4021

и 3 + 11 + 83 + 2081 + 2411 = 2 + 5 + 7 + 293 + 1193 + 3089 = 23 + 29 + 157 + 359 + 4021 = 4589

Первые два триплета, когда учитываются все делители, — это

417 162 = 2 × 3 × 251 × 277

417 163 = 17 × 53 × 463

417 164 = 2 × 2 × 11 × 19 × 499

и 2 + 3 + 251 + 277 = 17 + 53 + 463 = 2 + 2 + 11 + 19 + 499 = 533

6 913 943 284 = 2 × 2 × 37 × 89 × 101 × 5197

6 913 943 285 = 5 × 283 × 1259 × 3881

6 913 943 286 = 2 × 3 × 167 × 2549 × 2707

и 2 + 2 + 37 + 89 + 101 + 5197 = 5 + 283 + 1259 + 3881 = 2 + 3 + 167 + 2549 + 2707 = 5428

По состоянию на 2006 год известны только эти четыре триплета.

Примечания

Литература

• Ламберто Гарсия дель Сид. Замечательные числа : Ноль, 666 и другие бестии. — М. : «Де Агостини», 2014. — Т. 21. — 160 с. — (Мир математики: в 40 т.). — ББК 22.1. — УДК 51(0.062). — ISBN 978-5-9774-0682-6.
• Hoffman Paul. The Man Who Loved Only Numbers. — Hyperion. — 1998. — С. 180—181. — ISBN 0-7868-8406-1.

Ссылки

• «Ruth-Aaron Triplets» and «Ruth-Aaron pairs revisited». The prime puzzles & problems connection. Retrieved November 9, 2006.
• Пары Рута — Аарона